Question

设函数f（x），在（-∞，+∞）上满足f（2-x）=f（2+x），?f（7-x）=f（7+x），在闭区间［0,7]上，只有f（1）=f（3）=0.

（1）试判断函数y=f（x）的奇偶性；

（2）试求方程f（x）=0在闭区间［-2 005，2 005］上的根的个数，并证明你的结论.

Answer 1

解：（1）由已知得f（0）≠0，∴f（x）不是奇函数，又由f（2-x）=f（2+x），得函数y=?f（x）的对称轴为x=2，∴f（-1）=f（5）≠0，

∴f（-1）≠f（1），f（x）不是偶函数,故函数y=f（x）是非奇非偶函数；

（2）由已知f(4-x)=f(14-x) f(x)=f(x+10),

从而知y=f（x）的周期是10.

又f（3）=f（1）=0，f（11）=f（13）=f（-7）=f（-9）=0.

故f（x）在［0，10］和［-10，0］上均有两个解，从而可知函数y=f（x）在［0，2 005］上有402个解，在［-2 005，0］上有400个解，所以函数y=f（x）在［-2 005，2 005］上有802个解.