Question

如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，AB=BC=CA=2, M为AB的中点，四点P、A、M、C都在球O的球面上．

（1）证明：平面PAB平面PCM；

（2）证明：线段PC的中点为球O的球心；

（3）若球O的表面积为，求三棱锥P―ABC的体积。

Answer 1

（1）证明：∵AC=BC，M为AB的中点，

∴CM⊥AB。

∵PA⊥平面ABC，CM平面ABC，

∴PA⊥CM。

∵ABPA=A，AB平面PAB，PB平面PAB。

∴CM⊥平面PAB。

∵CM平面PCM

∴平面PAB⊥平面PCM。

（2）证明：由（1）知CM⊥平面PAB。

∵PM平面PAB，

∴CM⊥PM

∵PA⊥平面ABC，AC平面ABC，

∴PA⊥AC 

取PC的中点N，连接MN、AN，在Rt△PAC中，点N为斜边PC的中点，

    ∴MN=PN=NC。 

∴PN=NC=AN=MN

∴点N是球O的球心，即线段PC的中点为球O的球心。

（注：本题答案中符号“”等价于“”）

   （3）解：依题意得

 ∴PC=5，PA

∵AB=AC=BC=3，

∴△ABC的面积

∴三棱锥P―ABC的体积为