Question

点M（x,y）与定点（3，0）的距离和它到定直线l:x=的距离的比是常数，求点M的轨迹.

Answer 1

思路分析：利用已知曲线求方程的一般方法，先求出方程，再根据方程指出曲线的形状.

解：如图，设d是点M到直线l:x=的距离，根据题意，点M的轨迹就是集合P={M|}.

由此得.

将上式两边平方并化简，得16x²+25y²=400,

即=1.

所以点M的轨迹是长轴长、短轴长分别为10、8的椭圆.

温馨提示

椭圆=1的离心率为e=.通过此例可以看出椭圆=1上任意一点M到焦点F（3，0）的距离与M到直线l：x=的距离的比值为离心率e.一般地，点M（x,y）与定点F（c,0）的距离和它到定直线l:x=的距离的比是常数（a＞c＞0）,则点M的轨迹是椭圆，方程为=1（b²=a²-c²）.因此，椭圆可以看作动点M到定点F的距离与它到定直线的距离的比为常数e（0＜e＜1）的M的轨迹，这就是椭圆的第二定义.