Question

已知等差数列{a_n}满足：a₃=5，a₄+a₈=22．{a_n}的前n项和为s_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求使得s_n＞5n成立的最小正整数n的值．
（3）设c_n=（-1）ⁿ⁺¹•a_n•a_n+1，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（1）∵a₄+a₈=22，∴a₆=11，∴a₆-a₃=3d=11-5=6，∴d=2，∴a₁=1，∴a_n=2n-1． …（3分）
（2）sn=

n(2n-1+1)

2

=n2，∴n²＞5n，故n的最小正整数为6．…（6分）
（3）c_n=（-1）ⁿ⁺¹（2n-1）（2n+1）=（-1）ⁿ⁺¹（4n²-1）=

4n2-1(n为奇数) 1-4n2(n为偶数)

…（8分）
①n为奇数时，Tn=（4×1²-1）+（1-4×2²）+（4×3²-1）+（1-4×4²）+…+4n²-1=-4（2²-1²+4²-3²+…+（n-1）²-（n-2）² ）+4n²-1
=-4（3+7+11+…+2n-3）+4n²-1=2n²+2n-2，…（10分）
②n为偶数时，Tn=（4×1²-1）+（1-4×2²）+（4×3²-1）+（1-4×4²）+…+1-4n²=-4（2²-1²+4²-3²+…+（n）²-（n-1）²）
-4（3+7+11+…+2n-1）=-2n²-2n，…（12分）
∴Tn=

2n2+2n-2(n为奇数) -2n2-2n(n为偶数)

．…（14分）