Question

设f（x）=(a-1)x2+

a

x

(x≠0，a为常数)．
（Ⅰ）讨论f（x）的奇偶性，并说明理由；
（Ⅱ）当a=2，求f（x）的极值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）讨论a，当a=0，a=1时以及当a≠0且a≠1时根据函数奇偶性的定义进行判定即可；
（Ⅱ当a=2，求出f（x）的导函数f′（x）=0求出方程的解，根据解将区间分成几段，然后判定每一段的导数符号，最后根据极值的判定方法进行判定即可，从而求出极值．

解答：解：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=-x²为偶函数当a=1时，f(x)=

1

x

为奇函数
当a≠0且a≠1时，∵f（-1）=-1，f（2）=2a-1．f（-1）+f（1）=2（a-1）≠0
∴f（x）不是奇函数f（-1）-f（1）=-2a≠0∴f（x）不是奇函数
故此时f（x）非奇非偶．
（Ⅱ）a=2时，f(x)=x2+

2

x

f′(x)=2x-

2

x2

=

2(x-1)(x2+x+1)

x2

，由f′(x)=0得x=1
列表如下：

x	（-∞，0）	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	-	0	+
f（x）	↘	↘	极小值 f（1）=3	↗

故f（x）=x2+

2

x

有极小值3．

点评：本题主要考查了函数奇偶性的判定，以及导函数计算和极值的判定，同时考查了分类讨论的思想，属于中档题．