Question

已知函数f(x)=

2x+a

2x+1

，且函数f（x）为奇函数．
（1）求a的值；
（2）证明f（x）在（-∞，+∞）上为增函数．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）为奇函数得到f（-x）=-f（x），建立关于x的恒等式，利用系数为0即可得a的范围．
（2）先设自变量值，任取x₁、x₂∈（-∞，+∞）且x₁＜x₂，然后通过作差比较f（x₁）与f（x₂）的大小，即得函数的单调性．

解答：解：（1）∵f（-x）=-f（x），即

2-x+a

2-x+1

=-

2x+a

2x+1

，

1+a•2x

1+2x

+

2x+a

2x+1

=0⇒（a+1）（2^x+1）=0⇒a=-1．
（2）任取x₁、x₂∈（-∞，+∞）且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=

2x1-1

2x1+1

-

2x2-1

2x2+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂，∴2^X₁＜2x2，
又∵2^X₁+1＞0，2x2+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-∞，+∞）上为增函数．

点评：本题考查了函数奇偶性的性质，函数单调性的判断，定义是解决问题的根本，是个中档题．