Question

（本小题10分）

已知圆C过点M（0，-2）、N（3，1），且圆心C在直线x+2y+1=0上.

   （1）求圆C的方程；

（2）设直线ax-y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（本小题10分）

解：（1）设圆C的方程为：x²+y²+Dx+Ey+F=0

   则有      …………………2分

解得        ……………………………4分

∴圆C的方程为：x²+y²-6x+4y+4=0  …………5分

（2）设符合条件的实数存在，

由于l垂直平分弦，故圆心必在l上．

所以l的斜率，

而，  所以．       …………7分

把直线ax-y+1=0 即y=ax +1．代入圆的方程，

消去，整理得．

由于直线交圆于两点，

故，

即，解得．

则实数的取值范围是．…………………9分

由于，

故不存在实数，使得过点的直线l垂直平分弦．………10分