Question

已知数列{a_n}为等比数列.

(1)若a_n＞0，a₂a₄+2a₃a₅+a₄a₆=25,求a₃+a₅;

(2)若a₁+a₂+a₃=7,a₁a₂a₃=8,求a_n.

Answer 1

思路分析一：(1)已知条件便转化为关于a₁与q的方程求解.

(2)注意到a₁a₃=a₂²，则可立即求得a₂，这样两个已知条件便转化成了关于a₁、a₃的二元二次方程组.

解法一：(1)设数列的首项为a₁，公比为q，则由a₂a₄+2a₃a₅+a₄a₆=25,得a₁²q⁴(1+2q²+q⁴)=25,即a₁²q⁴(1+q²)²=25.因为a_n＞0,所以a₁q²(1+q²)=5,故a₃+a₅=a₁q²+a₁q⁴=a₁q²(1+q²)=5.

(2)因为在等比数列中，a₁a₃=a₂²,所以由a₁a₂a₃=8得a₂³=8,∴a₂=2.

将a₂=2代入题中条件，得方程组

解得

从而得q=2或q=,

于是得a_n=2^n-1或a_n=

思路分析二：(1)用整体思想，把条件化为a₃+a₅的方程.

(2)可用通项公式的变式a_n=a_m·q^n-m.

解法二：(1)∵数列{a_n}为等比数列，

∴a₂·a₄=a₃²,a₄·a₆=a₅²,

∴条件a₂a₄+2a₃a₅+a₄a₆=25，

化为:a₃²+2a₃a₅+a₅²=25,即

(a₃+a₅)²=25,

又a_n＞0,∴a₃+a₅＞0.

∴a₃+a₅=5.

(2)∵a₁a₃=a₂²,

∴条件a₁a₂a₃=8化为：

a₂³=8,∴a₂=2.

条件a₁+a₂+a₃=7化为：

+2+2×q=7化为：

2q²-5q+2=0解得

q=2或.

由a_n=a₂·q^n-2,

∴a_n=2×2^n-2=2^n-1或a_n=2×()^n-2=