Question

已知F₁，F₂是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得PF₁⊥PF₂，则椭圆离心率的取值范围是（　　）

• A、[

  5

  5

  ，1）
• B、[

  2

  2

  ，1）
• C、（0，

  5

  5

  ]
• D、（0，

  2

  2

  ]

Answer 1

分析：先证明椭圆的短轴的一个端点是到椭圆的中心距离最短的点．若椭圆上存在点P，使得PF₁⊥PF₂，?c≥b，再利用a，b，c的关系，离心率计算公式即可得出．

解答：解：如图所示，
下面证明椭圆的短轴的一个端点是到椭圆的中心距离最短的点．
设椭圆上任意一点P（x₀，y₀），则

x 2 0

a2

+

y 2 0

b2

=1，可得

y

2 0

=b2(1-

x 2 0

a2

)．
∴|OP|²=

x

2 0

+

y

2 0

=

x

2 0

+b2(1-

x 2 0

a2

)=

c2

a2

x

2 0

+b2≥b²，当且仅当x₀=0时取等号．
∴椭圆的短轴的一个端点是到椭圆的中心距离最短的点．
若椭圆上存在点P，使得PF₁⊥PF₂，则c≥b，∴c²≥b²=a²-c²，化为e2≥

1

2

，解得e≥

2

2

．
又e＜1，∴

2

2

≤e＜1．
故选B．

点评：本题考查了“椭圆的短轴的一个端点是到椭圆的中心距离最短的点”的性质、离心率计算公式等基础知识与基本技能方法，属于难题．