Question

在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,∠ABC=90°,BC=2,CC₁=4,EB₁=1,D、F、G分别是CC₁、B₁C₁、A₁C₁的中点,EF与B₁D相交于H.

(1)求证:B₁D⊥平面ABD;

(2)求证:平面EFG∥平面ABD;

(3)求平面EGF与平面ABD的距离.

Answer 1

思路分析:“面面距离”可转化为“线面距离”或“点面距离”来解决.

解法一：(1)证明:由直三棱柱的性质可得,平面ABC⊥平面BB₁C₁C,又已知AB⊥BC,

    ∴AB⊥平面BB₁C₁C.

    又B₁D平面BB₁C₁C,

    ∴AB⊥B₁D.

    已知BC=CD=DC₁=B₁C₁=2,

    ∴在Rt△BCD与Rt△DC₁B₁中可求得∠BDC=∠B₁DC₁=45°,

    ∴∠BDB₁=90°,即B₁D⊥BD.

    又AB∩BD=B,

    ∴B₁D⊥平面ABD.

     (2)证明:由题意易知EB₁=B₁F=1,

    ∴在Rt△EB₁F中,∠FEB₁=45°.

    又∠DBB₁=45°,

    ∴EF∥BD.

    而BD平面ABD,EF平面ABD,

    ∴EF∥平面ABD.

    ∵G、F分别为A₁C₁、B₁C₁的中点,

    ∴GF∥A₁B₁.

    又A₁B₁∥AB,

    则GF∥AB.

    而AB平面ABD,GF平面ABD,

    ∴GF∥平面ABD.

    而EF平面EGF,GF平面EFG,EF∩GF=F,

    ∴平面EGF∥平面ABD.

     (3)解:∵B₁D⊥平面ABD,平面EGF∥平面ABD,

    ∴B₁D⊥平面EGF.

    则HD即为平行平面EGF与ABD之间的距离,

    ∴HD=B₁D-B₁H=2-=.

 

解法二:以B为原点,BC所在直线为x轴,BA所在直线为y轴,BB₁所在直线为z轴建立空间直角坐标系(如图所示),设AB=2a,

则B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2a,0),D(2,0,2),E(0,0,3),F(1,0,4),G(1,a,4),B₁(0,0,4).

    于是=(2,0,-2),=(2,0,2),

    =(2,-2a,2),=(1,0,1),=(0,a,0).

    (1)证明:∵·=0, ·=0,

    ∴B₁D⊥BD,B₁D⊥AD.

    又BD∩AD=D,

    ∴B₁D⊥平面ABD.

    (2)证明:∵·=0, ·=0,

    ∴B₁D⊥EF,B₁D⊥FG.

    ∴B₁D⊥平面EFG.

    由(1)得B₁D⊥平面ABD,

    故平面EFG∥平面ABD.

    (3)解:由(1)得平面ABD的一个法向量为=(2,0,-2).又=(2,0,-1),

    ∴d=

    ==.

    ∴平面EGF与平面ABD的距离为.

讲评:两平行平面间的距离是指夹在两平行平面之间的公垂线段的长度,通常可转化为点到面的距离,即在某个平面内找一个特殊点,求该点到另一个面的距离;而点到面的距离有时也可看作某个棱锥的高,再利用等积法来求解.