Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx-1，且不等式|f（x）|≤2|2x²-1|的实数x恒成立，数列{a_n}满足a₁=1，．
（1）求a，b的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求证．

Answer 1

【答案】分析：（1）由不等式|f（x）|≤2|2x²-1|的实数x恒成立，由x=±时，2|2x²-1|=0，结合绝对值的非负性，可得f（）=f（-）=0，由此构造方程可求出a，b的值；
（2）由f（x）=2x²+1，可得a_n+1=2a_n+1，进而可得数列{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，求出数列{a_n+1}的通项公式后，可得数列{a_n}的通项公式；
（3）由=≥-•（k≥3），利用放缩法，可证得．
解答：解：（1）∵不等式|f（x）|≤2|2x²-1|对任意的实数x恒成立．且当x=±时，2|2x²-1|=0
∴|f（）|≤0，且|f（-）|≤0，
即f（）=f（-）=0
即，
解得：a=2，b=0；
（2）由 （1）知f（x）=2x²+1，
∴=2a_n+1，
a_n+1+1=2（a_n+1）
又a₁=1，
∴数列{a_n+1}是以a₁+1=2为首项，2为公比的等比数列．
∴a_n+1=2ⁿ，
从而数列{a_n}的通项公式a_n=2ⁿ-1；
（3）由 （2）知a_n=2ⁿ-1，
∴==-=-≥-•（k≥3）
∴≥++-•（++…+）=-•（1-）＞-=＞
综上有．
点评：本题考查的知识点是数列与函数的综合应用，数列与不等式的综合应用，求数列的通项公式，其中（1）的关键是得到f（）=f（-）=0，（2）的关键是得到数列{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，（3）的关键是利用放缩法对不等式进行变形．