Question

(22)设数列{a_n}满足a₁=2,a_n+1=a_n+(n=1,2,…).

(Ⅰ)证明:a_n＞对一切正整数n成立；

(Ⅱ)令b_n＞(n=1,2,…)，判定b_n与b_n+1的大小，并说明理由.

Answer 1

(22) (Ⅰ)证法一: 当n=1时,a₁=2＞,不等式成立.

假设n=k时,a_k＞成立,

当n=k+1时,

a_k+1²=a_k²++2＞2k+3+>2(k+1)+1,

∴n=k+1时,a_k+1＞时成立.

综上由数学归纳法可知,a_n＞对一切正整数成立.

证法二:当n=1时,a₁=2＞=,结论成立.

假设n=k时结论成立,即a_k＞,

当n=k+1时,由函数f(x)=x+(x＞1)的单调递增性和归纳假设有

a_k+1=a_k+＞+.

因此只需证+≥.

而这等价于(+)²≥2k+3

≥0,显然成立.

所以当n=k+1时,结论成立.

因此,a_n>对一切正整数n均成立.

证法三:由递推公式得

a_n²=a_n－1²+2+,

a_n－1²=a_n－2²+2+,

……

a₂²=a₁²+2+.

上述各式相加并化简得

a_n²=a₁²+2(n－1)+ +…+＞2²+2(n－1)

=2n+2＞2n+1(n≥2).

又n=1时,a_n>明显成立,

故a_n＞(n=1,2,…).

 

 

   

故b_n+1＜b_n.

 

 

  

所以b_n+1＜b_n.