Question

抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点满足下述三个条件:①在第三象限;②在直线y=x上;③到原点距离为2，且抛物线被x轴截得的线段长为8，求抛物线解析式.

Answer 1

思路解析：若建立一般式y=ax²+bx+c（a≠0）由题设条件将得到一个三元二次的方程组,解此三元二次方程需花较多时间,若建立顶点式y=a(x-h)²+h.顶点（h,h）,h＜0,则,∴h=-2.∴抛物线为y=a(x-2)²-2.最后利用|x₁-x₂|=8,求得a值.由抛物线的顶点（-2，-2）及对称轴方程x=-2,则可知抛物线与x轴的两交点到对称轴的距离都是4，∴抛物线与x轴的两交点坐标为（-6,0）与（2，0）,从而建立抛物线与x轴交点的坐标式（也称标根式）最简.

解：设抛物线的顶点为（h,h），且h＜0,则h=-2.

∴抛物线顶点为（-2，-2），抛物线的对称轴方程为x=-2.

∵抛物线被x轴截得的线段长为8,∴抛物线与x轴的两交点为（-6,0）、（2，0）.

设抛物线为y=a(x+6)(x-2)(a≠0)过点（-2，-2）,∴-2=a·4(-4)a=.

∴抛物线的解析式为y= (x+6) (x-2)= x²+x-.