Question

已知f(x)=-4cos2x+4

3

asinxcosx，将f （x）的图象向左平移

π

4

，再向上平移2个长度单位后，图象关于直线x=

π

12

对称．
（1）求实数a的值，并求f（x）取得最大值时x的集合；
（2）求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）先求得将f（x）的图象变换后所得图象对应的函数解析式为 g（x）=2sin2x+2

3

a•cos2x，由g（x）的图象关于直线x=

π

12

对称，g（0）=g（

π

6

），求得a的值，从而求得f（x）的解析式，由此可得f（x）的最大值．
（2）令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，即可求得f（x）的单调递增区间．

解答：解：（1）∵已知f(x)=-4cos2x+4

3

asinxcosx=-2-2cos2x+2

3

a•sin2x，
将f（x）的图象向左平移

π

4

所得图象对应的函数为y=-2-2cos2（x+

π

4

）+2

3

a•sin2（x+

π

4

）=-2+2sin2x+2

3

a•cos2x，
 再把所得图象向上平移2个长度单位后，所得图象对应的函数为y=2sin2x+2

3

a•cos2x，
∴g（x）=2sin2x+2

3

a•cos2x．
∵g（x）的图象关于直线x=

π

12

对称，∴有g（0）=g（

π

6

），即2

3

a=

3

+

3

a，解得a=1．   
则f（x）=2

3

sin2x-2cos2x-2=4sin（2x-

π

6

）-2．  
当2x-

π

6

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

π

3

时，f（x）取得最大值2．
因此，f（x）取得最大值时x的集合是{x|x=kπ+

π

3

，k∈Z}．
（2）令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
因此，f（x）的单调递增区间是[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）．

点评：本题考查三角函数的最值，重点考查正弦函数的对称性质与单调性，难点是辅助角公式的理解与应用，属于中档题．