Question

已知a为实数，函数f(x)＝(x²＋)(x＋a)

(1)若函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围；

(2)若(－1)＝0，(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)若对任意的x₁，x₂∈[－1，0]，不等式|f(x₁)－f(x₂)|≤m恒成立，试求m的最小值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵f(x)＝x3＋ax2＋x＋a，∴f1(x)＝3x2＋2ax＋． 　　∵函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线，∴f1(x)＝0有实数解，∴△＝4a2－4×3×3/2≥0，∴a2≥9/2，因此，所求实数a的取值范围是(－∞，－)∪(，＋∞)．　　4分 　　(2)(I)∵(－1)＝0，∴3－2a＋3/2＝0，即a＝9/4，(x)＝3x2＋2ax＋3/2＝3(x＋1/2)(x＋1)．由(x)＞0，得x＜－1或x＞－1/2，由(x)＜0，得－1＜x＜－1/2． 　　因此，函数f(x)的单调增区间为(－∞，－1]，[－1/2，＋∞)； 　　单调减区间为[－1，－1/2]　　8分 　　(ii)由(I)的结论可知，f(x)在[－1，－1/2]上的最大值为f(－1)＝25/8，最小值为f(－1/2)＝49/16，f(x)在[－1/2，0]上的最大值为f(0)＝27/8，最小值为f(－1/2)＝49/16，∴f(x)在[－1，0]上的最大值为f(0)＝27/8，最小值为f(－1/2)＝49/16．因此，任意的x1，x2∈[－1，0]，恒有|f(x1)－f(x2)|≤．故mmin＝　　13分