Question

已知函数f(x)=ax³+x²-a²x(a＞0)，存在实数x₁,x₂满足下列条件：①x₁＜x₂;②f′(x₁)?=f′(x₂)=0;③|x₁|+|x₂|=2.

(1)证明0＜a≤3;

(2)求b的取值范围；

(3)若函数h(x)=f′(x)-6a(x-x₁),证明当x₁＜x＜2时，|h(x)|≤12a.

Answer 1

解：设f′(x)=3ax²+2x-a²=3a(x-x₁)(x-x₂),?

∴x₁+x₂=-,x₁x₂=-.?

由a＞0，得x₁＜0＜x₂.?

∵|x₁|+|x₂|=2,?

∴x₂-x₁=2.?

(1)证明:∵-x₁和x₂是方程T²-2T+=0的两个实根，?

∵方程有解，∴Δ=4-≥0,?

得0＜a≤3.                                                                                                              ?

(2)由(x₁+x₂)²-4x₁x₂=4,?

得+=4.?

∴b=3a²(3-a)=-3a³+9a².?

∴b′=-9a²+18a.?

由b′=0,得a=0或a=2,?

∵0＜a≤3,?

∴0＜a≤2时，b′≥0,b在(0,2］上单调递增；?

2≤a≤3时，b′≤0,b在［2,3］上单调递减.?

∴a=2时，b取最大值12,?

a=3时，b=0,?

a=0时,b=0.                                                                                                             ?

∴0≤b≤12.?

(也可用下面方法?

∴b=3a²(3-a)≤12()³=12.?

∴0≤b≤12)?

(3)证明:h(x)=3a(x-x₁)(x-x₂)-6a(x-x₁)?

=3a(x-x₁)［(x-x₂)-2］.?

其图象是开口向上的抛物线.?

∵x₁＜x＜2且x₁＜x₂,x₂-x₁=2,?

对称轴为x===x₂.?

由x₁＜x＜2,?

若x₂≤2,则0=h(x₁)＞h(x)≥h(x)=3a(x₂-x₁)(-2)=-12a,?

∴|h(x)|≤12a.?

若2＜x₂,则0=h(x₁)＞h(x)＞h(2)＞h(x₂)=-12a,??

∴|h(x)|＜12a.?

由0＜a≤3,综上,得|h(x)|≤12a.