Question

已知函数f（x）=
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）求函数f（x）的值域；
（Ⅲ）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

解：（I）要使函数有意义，
则3-2x-x²＞0，
解得-3＜x＜1，
故函数的定义域是（-3，1），
（II）令t=-x²-2x+3，则函数t在（-3，-1]上递增，在[-1，1）上递减，
当x=-1时，函数t取最大值4
即0＜t≤4
∴y≥-2
∴函数f（x）的值域为[-2，+∞）
（III）又因函数y=t在定义域上单调递减，、
由（II）中t=-x²-2x+3在（-3，-1]上递增，在[-1，1）上递减，
故由复合函数的单调性知
f（x）=的单调递增区间是[-1，1），单调递减区间是（-3，-1]
分析：（I）根据对数函数的真数大于零可求函数的定义域；
（II）根据二次函数的图象和性质求出内函数的值域，结合对数函数的图象和性质，可得函数f（x）的值域；
（III）把复合函数分成二次函数和对数函数，分别在定义域内判断两个基本初等函数的单调性，再由“同增异减”求原函数的递增区间．
点评：本题的考点是复合函数的单调性，对于对数函数需要先求出定义域，这也是容易出错的地方；再把原函数分成几个基本初等函数分别判断单调性，再利用“同增异减”求原函数的单调性．