Question

已知等差数列{a_n}的公差大于0，且a₃，a₅是方程x²-14x+45=0的两根，数列{b_n}的前n项的和为S_n，且Sn=

1-bn

2

(n∈N*)．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）记c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（Ⅰ）∵a₃，a₅是方程x²-14x+45=0的两根，且数列{a_n}的公差d＞0，
∴a₃=5，a₅=9，公差d=

a5-a3

5-3

=2.
∴a_n=a₅+（n-5）d=2n-1．（3分）
又当n=1时，有b1=S1=

1-b1

2

∴b1=

1

3

当n≥2时，有bn=Sn-Sn-1=

1

2

(bn-1-bn)，∴

bn

bn-1

=

1

3

(n≥2).
∴数列{b_n}是首项b1=

1

3

，公比q=

1

3

等比数列，
∴bn=b1qn-1=

1

3n

.（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知cn=anbn=

2n-1

3n

，则Tn=

1

31

+

3

32

+

5

33

++

2n-1

3n

（1）
∴

1

3

Tn=

1

32

+

3

33

+

5

34

++

2n-3

3n

+

2n-1

3n+1

（2）（10分）
（1）-（2）得：

2

3

Tn=

1

3

+

2

32

+

2

33

++

2

3n

-

2n-1

3n+1

=

1

3

+2(

1

32

+

1

33

++

1

3n

)-

2n-1

3n+1

化简得：Tn=1-

n+1

3n

（12分）