Question

用总长14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架.如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积.

Answer 1

解:设容器底面短边长为x m,则另一边长为(x+0.5) m,高为

    =3.2-2x(m).

    设容积为y m³,

    则y=x(x+0.5)(3.2-2x)(0＜x＜1.6),

    整理,得y=-2x³+2.2x²+1.6x.

    所以y′=-6x²+4.4x+1.6.

    令y′=0,

    即-6x²+4.4x+1.6=0,

    所以15x²-11x-4=0.

    解得x=1或x=-(不合题意,舍去).

    从而在定义域(0,1.6)内只有x=1处使得y′=0.

    由题意,若x过小(接近0)或过大(接近1.6)时,y值很小(接近0).

    因此,当x=1时,y有最大值且y_max=-2+2.2+1.6=1.8,

    此时,高为3.2-2×1=1.2.

    答:容器的高为1.2 m时,容积最大,最大容积改为1.8 m³.