Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若向量

m

=（cosB，sinC），

n

=（cosC，-sinB），且

m

•

n

=

1

2

．
（1）求角A的大小；
（2）若a=2

3

，△ABC的面积S=

3

，求b+c的值．

Answer 1

分析：（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算化简

m

•

n

=

1

2

，再利用两角和与差的余弦函数公式及诱导公式化简，求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（2）利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将sinA及已知的面积代入求出bc的值，利用余弦定得到a²=b²+c²-2bccosA，将cosA的值代入，利用完全平方公式整理后，将a与bc的值代入即可求出b+c的值．

解答：解：（1）∵

m

•

n

=

1

2

，向量

m

=（cosB，sinC），

n

=（cosC，-sinB），
∴cosBcosC-sinBsinC=

1

2

，即cos（B+C）=

1

2

，
又cos（B+C）=cos（π-A）=-cosA=

1

2

，
∴cosA=-

1

2

，
又A为三角形的内角，
则A=

2π

3

；
（2）∵△ABC的面积S=

3

，sinA=sin

2π

3

=

3

2

，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

4

bc=

3

，
∴bc=4，又a=2

3

，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²+bc=（b+c）²-bc，
即12=（b+c）²-4，整理得：（b+c）²=16，
则b+c=4．

点评：此题考查了平面向量的数量积运算，正弦、余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，诱导公式，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．