Question

函数f（x）=asin2x+2cos2x的最大值为3．
（1）求实数a的值；                   
（2）求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）通过辅助角公式，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过函数的最大值求出a．
（2）分别通过a的值，利用正弦函数与余弦函数的单调性求出函数的单调增区间即可．

解答：解：（1）函数f（x）=asin2x+2cos2x
=asin2x+cos2x+1
=

a2+1

sin（2x+φ）+1，…（2分）
因为函数f（x）=asin2x+2cos2x的最大值为3，
∴

a2+1

+1=3，解得a=±

3

；  …（4分）
（2）当a=

3

时，函数f（x）=

3

sin2x+cos2x+1=2sin（2x+

π

6

）+1，
由2kπ-

π

2

≤2kπ+

π

6

≤2kπ+

π

2

，得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z…（7分）
当a=-

3

时，函数f（x）=-

3

sin2x+cos2x+1
=2scos（2x+

π

3

）+1，
由2kπ-π≤2x+

π

3

≤2kπ，得kπ-

2π

3

≤x≤kπ-

π

6

，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-

2π

3

，kπ-

π

6

]，k∈Z…（10分）

点评：本题考查正弦函数的单调性，余弦函数的单调性，两角和与差的正弦函数的应用，考查计算能力．