Question

已知函数f（x）=x-
（Ⅰ）　求f（x）的最小值．
（Ⅱ）若f（x）在区间[m，n]（0≤m＜n）上的值域为[km，kn]，试求k的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ） ，令N（x）=（1+x）²-1+ln（1+x）∴N′（x）＞0，故N（x）在（-1，+∞）上单调递增，N（0）=0，又函数f（x）在（-1，0）上单调减，（0，+∞）上单调递增，故f（x）_min=f（0）=0
（Ⅱ）由题意f（x）在[0，+∞）上单调递增，故，即方程f（x）=kx在[0，+∞）上有两个不相等的实数根，又0是方程f（x）=kx的根，故此方程还有一个正根．
令，∴，
令N₁（x）=（1-k）（1+x）²-1+ln（1+x），
当0＜k＜1时，N₁′（x）＞0，故N₁（x）单调递增，由于当x→+∞时，F（x）→+∞，F（0）=0，要使F（x）=0有一个正根，只要F（x）有一个正德极值，即N₁（x）=0有一个正根，故N₁（x）＜0，即-k＜0，∴0＜k＜1；
当k≥1时，令F（0）=0则，由于x＞0，∴（1-k）x≤0，而故上式不成立
综上所述，0＜k＜1
分析：（Ⅰ） 先求导函数，再令N（x）=（1+x）²-1+ln（1+x）∴N′（x）＞0，故N（x）在（-1，+∞）上单调递增，结合f（x）在（-1，0）上单调减，（0，+∞）上单调递增可求f（x）的最小值．
（Ⅱ）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在区间[m，n]（m＜n），再利用二次函数的单调性，求出m，n的值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
点评：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、考查利用导数求闭区间上函数的最值等基础知识，考查等价转化问题的能力，有一定的难度．属于中档题．