Question

阅读课本,我们学习了sin(α+β)展开的公式,但是粗心的同学总把公式错写成sin(α+β)=sinα+sinβ.现请问,这一等式是否一定不可能成立?若是,请说明理由;若可能成立,求出α、β应满足的条件.

      

Answer 1

解析:若sin(α+β)=sinα+sinβ成立,我们寻求等式成立的充分条件,如果充分条件不存在,则说明等式不成立.从而将反溯条件型开放性问题转化为封闭性的求解问题.?

       由sin(α+β)=sinα+sinβ,?

       而sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,?

       从而sinαcosβ+cosαsinβ-sinα-sinβ=0,?

       得sinα(cosβ-1)+sinβ(cosα-1)=0.?

       由余弦二倍角公式,有?

       -2sinαsin²-2sinβsin² =0,?

       由正弦二倍角公式,有?

       2sincossin²+2sincossin²=0,?

       得sinsin(sincos+cossin)=0,?

       即sinsinsin =0.?

       这时,α=2kπ或β=2kπ或α+β=2kπ(k∈Z).?

       综上可知当α=2kπ或β=2kπ或α+β=2kπ(k∈Z)时,sin(α+β)=sinα+sinβ成立,否则不成立.