Question

已知等差数列{a_n}的前4项和为60，且a₂+a₄=34，等比数列{b_n}的前4项和为120，且b₂+b₄=90.

(1)求{a_n}、{b_n}的通项公式；

(2)对一切正整数n，是否存在正整数P，使得a_P=b_n²？不论存在与否，请给出证明.

Answer 1

解：设等差数列的首项为a₁，公差为d，等比数列的首项为b₁，公比为q，由{a_n}的前4项和为60，且a₂+a₄=34，得a₁=9,d=4.                                               

等比数列{b_n}的前4项和为120，且b₂+b₄=90,得b₁=3,q=3,

所以a_n=4n+5,b_n=3ⁿ.                                                           

(2)由(1)知b_n²=9ⁿ，令4P+5=9ⁿ，得P=,                                    

而9ⁿ-5=(8+1)ⁿ-5=·8ⁿ+·8^n-1+…+·8-4,                                 

∵x∈N^*,∴9ⁿ-5≥4且上式括号中的数是4的倍数，所以能被4整除，

∴9ⁿ-5对一切正整数n，使得满足a_P=b_n²的正整数P总存在.