Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥AD，底面ABCD是边长为2的正方形，△PAB是等边三角形，求二面角B-AC-P的余弦．

Answer 1

分析：以AB中点O为坐标原点，以OB为x轴，过点O与AD平行的直线为y轴，以OP为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，根据条件求出平面PAC的一个法向量，又

OP

是平面ABC的一个法向量，设二面角B-AC-P的大小为θ，利用夹角公式求出此角余弦值即可．

解答：解：建立如图的空间直角坐标系O-xyz，
则A（-1，0，0），B（1，0，0），
则P（0，0，

3

），C（1，2，0）
设

n

=（x，y，z）为平面PAC的一个法向量，
则

n

⊥

PA

， 

n

⊥

PC

又

PA

=(-1，0，-

3

) ，

PC

=(1，2，-

3

)
∴

-x- 3 z=0 x+2y- 3 z=0

令z=1，得x=-

3

，y=

3

得

n

=(-

3

，

3

，1)
又

OP

是平面ABC的一个法向量，设二面角B-AC-P的大小为θ，
则cosθ=cos＜n，

OP

＞=

n• OP

|n|•| OP |

=

3

7 • 3

=

7

7

∴二面角P-AC-B的余弦为

7

7

点评：本小题主要考查二面角及其平面角，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．