Question

已知函数f（x）=2sinxcosx-1（x∈R），给出下列四个命题：
①若f（x₁）=-f（x₂），则x₁=-x₂；       ②f（x）的最小正周期是2π；
③f（x）在区间[-

π

4

，

π

4

]上是增函数；   ④f（x）的图象关于直线x=

3π

4

对称，
其中正确的命题是

③④

．

Answer 1

分析：根据题意把函数化简为f（x）=sin2x-1，①可以举例判断其实错误的．②根据周期公式可得函数周期为π．③求出函数的所以单调增区间即可得到③正确．④求出函数的所有对称轴可验证得④正确

解答：解：函数f（x）=2sinxcosx-1=sin2x-1
①f（

π

6

）=-f（

2π

3

），但是不满足x₁=-x₂，所以①错误．
②根据周期公式可得：f（x）=sin2x-1的最小正周期为π．所以②错误．
③f（x）=sin2x-1的单调增区间为[kπ-

π

4

，kπ+

π

4

]，（k∈Z），当k=0时显然③正确．
④f（x）=sin2x-1的所有对称轴为x=

kπ

2

+

π

4

，当k=1时显然④正确．
故答案为：③④

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握二倍角公式，以及三角函数的有关性质（单调性，周期性，奇偶性，对称性等）．