Question

22.设0＜＜，曲线x²sin+y²cos=1和x²cos－y²sin=1有4个不同的交点.

(Ⅰ)求的取值范围；

(Ⅱ)证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围.

Answer 1

22.本小题主要考查坐标法、曲线的交点和三角函数性质等基础知识，以及逻辑推理能力和运算能力.

解：

(Ⅰ)两曲线的交点坐标(x，y)满足方程组

即                                     

有4个不同交点等价于x² > 0且y² > 0，即

又因为，所以得θ的取值范围为(0，).           

 

(Ⅱ)由(Ⅰ)的推理知4个交点的坐标(x，y)满足方程  (0<θ<)，即得4个交点共圆，该圆的圆心在原点，半径为r = (0<θ<).                                             

因为cosθ在(0，)上是减函数，所以由cos=1，=知r的取值范围是(，).