Question

设函数f（x）=x﹣ae^x﹣1．

（Ⅰ）求函数f（x）单调区间；

（Ⅱ）若f（x）≤0对x∈R恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：

利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．

专题：

计算题．

分析：

（I）对函数求导，使得导函数大于0，求出自变量的取值范围，针对于a的值小于进行讨论，得到函数的单调区间．

（II）这是一个恒成立问题，根据上一问做出的结果，知道当a≤0时，f（x）≤0不恒成立，又当a＞0时，f（x）在点x=1﹣lna处取最大值，求出a的范围．

解答：

解：（I）f^′（x）=1﹣ae^x﹣1

当a≤0时，f^′（x）＞0，f（x）在R上是增函数；

当a＞0时，令f^′（x）=0得x=1﹣lna

若x＜1﹣lna，则f^′（x）＞0，从而f（x）在区间（﹣∞，1﹣lna）上是增函数；

若x＞1﹣lna，，则f^′（x）＜0，从而f（x）在区间（1﹣lna，+∞上是减函数．

（II）由（I）可知：当a≤0时，f（x）≤0不恒成立

又当a＞0时，f（x）在点x=1﹣lna处取最大值，

且f（1﹣lna）=1﹣lna﹣ae^﹣lna=﹣lna

令﹣lna＜0得a≥1

故若f（x）≤0对x∈R恒成立，则a的取值范围是[1，+∞）

点评：

本题考查求函数的单调区间和解决函数恒成立的问题，解题时注意函数的单调性是解决最值的必经途径，注意数字的运算．