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    判定函数f(x)＝xsin(π＋x)的奇偶性．

    答案：
    解析：

    　　解：因为f(－x)＝－xsin(π－x)＝－xsinx＝xsin(π＋x)＝f(x)，

    　　所以，函数f(x)为偶函数．

    　　点拨：三角函数奇偶性的题型有证明型和综合应用型．确定的方法有定义法、图像法及性质推出法等．三角函数具有奇偶性的首要条件是：定义域是以原点为对称中心的区间．

    　　总之，三角函数的单调性与奇偶性是函数的重要性质，合理利用函数的性质，正确理解它们的含义，是熟练解决综合问题的前提．


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    已知函数f(x)＝x(＋)

    (1)

    判定函数的奇偶性，并证明你的结论；

    (2)

    求证：参所有非零实数x，都有f(x)＞0成立．

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    根据表格中的数据，可以判定函数f(x)＝ex―x―2的一个零点所在的区间是

    [　　]
    A．

    (－1，0)

    B．

    (0，1)

    C．

    (1，2)

    D．

    (2，3)

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)＝(x∈R)．

    (1)判定函数f(x)的奇偶性；

    (2)判定函数f(x)在R上的单调性，并证明．

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    已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3.

    (1)求f(x)的解析式；

    (2)若过点A(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．

    【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。第一问，利用函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3，得到c＝－3　∴a＝1, f(x)＝x3－3x

    (2)中设切点为(x0，x03－3x0)，因为过点A(2，m)，所以∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)分离参数∴m＝－2x03＋6x02－6

    然后利用g(x)＝－2x3＋6x2－6函数求导数，判定单调性，从而得到要是有三解，则需要满足－6<m<2

    解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c

    依题意

    又f′(0)＝－3

    ∴c＝－3　∴a＝1　∴f(x)＝x3－3x

    (2)设切点为(x0，x03－3x0)，

    ∵f′(x)＝3x2－3，∴f′(x0)＝3x02－3

    ∴切线方程为y－(x03－3x0)＝(3x02－3)(x－x0)

    又切线过点A(2，m)

    ∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)

    ∴m＝－2x03＋6x02－6

    令g(x)＝－2x3＋6x2－6

    则g′(x)＝－6x2＋12x＝－6x(x－2)

    由g′(x)＝0得x＝0或x＝2

    ∴g(x)在(－∞，0)单调递减，(0,2)单调递增，(2，＋∞)单调递减．

    ∴g(x)极小值＝g(0)＝－6，g(x)极大值＝g(2)＝2

    画出草图知，当－6<m<2时，m＝－2x3＋6x2－6有三解，

    所以m的取值范围是(－6,2)．

     

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