Question

如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 倍，P为侧棱SD上的点．
（1）求证：AC⊥SD；
（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P﹣AC﹣D的大小；
（3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．

Answer 1

证明：（1）连BD，设AC交于BD于O，
由题意知SO⊥平面ABCD．
以O为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系O﹣xyz如图．
设底面边长为a，则高．
于是，
，，
，
故OC⊥SD从而AC⊥SD
（2）由题设知，平面PAC的一个法向量，
平面DAC的一个法向量．
设所求二面角为θ，则
，
所求二面角的大小为30°．
（3）在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC．
由（2）知是平面PAC的一个法向量，且

设，则

而
即当SE：EC=2：1时，而BE不在平面PAC内，
故BE∥平面PAC