Question

如图,在椭圆C:+=1中,F₁、F₂分别为椭圆C的左、右两个焦点,P为椭圆C上且在第一象限内的一点,△PF₁F₂的重心为G,内心为I.

(1)求证:IG∥F₁F₂;

(2)已知A为椭圆C的左顶点,直线l过右焦点F₂与椭圆C交于M、N两点,若AM、AN的斜率k₁、k₂满足k₁+k₂=-,求直线l的方程.

Answer 1

答案：(1)证明:设P点坐标为(x₀,y₀)(y₀＞0),而G为△PF₁F₂的重心,故G(,).

设△PF₁F₂的内切圆半径为r,则=|F₁F₂|·|y₀|=(|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|)·r,

于是·2c·|y₀|=(2a+2c)·r,

又a=2,c=1,y₀＞0,

则r=y₀,从而I点纵坐标为.从而IG∥F₁F₂.

(2)解:若直线l的斜率不存在,显然k₁+k₂=0不合题意.

若直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-1),直线l和椭圆交于M(x₁,y₁),N(x₂,y₂).

将y=k(x-1)代入3x²+4y²=12中得到(3+4k²)x²-8k²x+4k²-12=0,

由韦达定理可知:

又k_AM+k_AN=+=k(+)

=k［2-3(+)］,

而+===,

从而k_AM+k_AN=k(2-3·)==.

求得k=2.

故所求直线l方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0.