Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是AA₁的中点．求证：平面MBD⊥平面BDC₁．

Answer 1

分析：设该正方体的边长为1，取BD的中点为P，连接MP，C₁P，易证C₁P⊥BD，MP⊥BD，通过计算可证得C1M2=C1P2+MP²，从而证得C₁P⊥MP，利用面面垂直的判定定理即可证得结论．

解答：证明：∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是AA₁的中点，作图如下：

不妨设该正方体的边长为1，取BD的中点为P，连接MP，C₁P，
∵△C₁BD为边长为

2

的等边三角形，点P为BD的中点，
∴C₁P⊥BD，且C₁P=C₁Dsin60°=

2

×

3

2

=

6

2

；
同理，在等腰三角形BMD中，MP⊥BD；①
∴直角三角形MPD中，MD=

12+( 1 2 )2

=

5

2

，PD=

2

2

，
∴MP=

MD2-PD2

=

5 4 - 2 4

=

3

2

；
又C₁M=

C1A12+A1M2

=

2+ 1 4

=

3

2

；
在△C₁MP中，MP=

3

2

，C₁P=

6

2

，C₁M=

3

2

，
∴C1M2=C1P2+MP²，
∴△C₁MP为直角三角形，C₁P⊥MP，②
由①MP⊥BD，②C₁P⊥MP，C₁P∩BD=P，
∴MP⊥平面BDC₁．
又MP?平面MBD，
∴平面MBD⊥平面BDC₁．

点评：本题考查平面与平面垂直的判定，着重考查作图与运算、推理证明的能力，证得C₁P⊥MP是关键，属于中档题．