Question

函数f（x）=Asin（ωx+?）+b的图象如图，则f（x）的解析式为

f（x）=

1

2

sin

π

2

x+1

，S=f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2011）的值为

2012

．

Answer 1

分析：由图象可得：T=

2π

ω

=4，可求得ω=

π

2

，A=

3 2 - 1 2

2

=

1

2

，从而可求得b=1；f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=4，利用其周期为4，即可求得f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2011）的值．

解答：解：①∵T=

2π

ω

=4，
∴ω=

π

2

，
又A=

3 2 - 1 2

2

=

1

2

，
∴b=1，从图中可知，初相为0，
∴f（x）的解析式为y=

1

2

sin

π

2

x+1；
②∴f（0）=1，f（1）=

3

2

，f（2）=1，f（3）=

1

2

，
f（4）=1，f（5）=

3

2

，f（6）=1，f（7）=

1

2

，
…
∴f（4k）=1，f（4k+1）=

3

2

，f（4k+2）=1，f（4k3）=

1

2

，而f（4k）+f（4k+1）+f（4k+2）+f（4k3）=4，
∴f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2011）=503×[f（0）+f（1）+f（2）+f（3）]=503×4=2012．
故答案为：f（x）=

1

2

sin

π

2

x+1；2012．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，难点在于求f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2011）的值，关键在于分析出其周期为4，利用周期性解决问题，属于中档题．