Question

18.如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中，∠ABC=60,PA=AC=a,

PB=PD=a,点E是PD的中点.

（Ⅰ）证明：PA⊥平面ABCD，PB∥平面EAC；

（Ⅱ）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的正切值.

Answer 1

18.（Ⅰ）证法一　因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，

所以AB=AD=AC=a.

在△PAB中，由PA²+AB²=2a²=PB²，知PA⊥AB.

同理，PA⊥AD.所以PA⊥平面ABCD.

因为=++

=2++

=（+）+（+）

=+.

所以、、共面.

又PB平面EAC，所以PB∥平面EAC.

证法二　同证法一得PA⊥平面ABCD.

连结BD，设BD∩AC=O，则O为BD的中点.

连结OE，因为E是PD的中点，所以PB∥OE.

又PB平面EAC，OE平面EAC，故PB∥平面EAC.

（Ⅱ）解　作EG∥PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD，

知EG⊥平面ABCD.

作GH⊥AC于H，连结EH，则EH⊥AC，∠EHG即为二面角θ的平面角.

又E是PD的中点，从而G是AD的中点，

EG=a，AG=a，GH=AGsin60°=a.

所以tanθ==.