Question

8．已知函数f（x）=sinx+lnx-kx（k＞0）
（1）若函数f（x）在$（0，\frac{π}{2}]$单调递增，求k的取值范围
（2）设g（x）=sinx（x＞0），若y=g（x）的图象在y=f（x）的图象上方，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意，f′（x）=cosx+$\frac{1}{x}$-k≥0，则k≤cosx+$\frac{1}{x}$，（cosx+$\frac{1}{x}$）_min即可；
（2）由题意得x＞0时，g（x）＞f（x）恒成立，化为lnx-kx＜0（x＞0）恒成立，h（x）=lnx-kx，利用导数求其最大值即可．

解答 解：（1）由题意，f′（x）=cosx+$\frac{1}{x}$-k≥0，则k≤cosx+$\frac{1}{x}$，
而cosx+$\frac{1}{x}$在（0，$\frac{π}{2}$]上单调递减，
则（cosx+$\frac{1}{x}$）_min=cos$\frac{π}{2}$+$\frac{2}{π}$=$\frac{2}{π}$，则k∈（0，$\frac{2}{π}$]；
（2）由题意得x＞0时，g（x）＞f（x）恒成立，
则lnx-kx＜0（x＞0）恒成立，
令h（x）=lnx-kx，h′（x）=$\frac{1}{x}$-k，
x∈（0，$\frac{1}{k}$）时，h′（x）＞0，
x∈（$\frac{1}{k}$，+∞）时，h′（x）＜0，
则h_max（x）=h（$\frac{1}{k}$）=ln$\frac{1}{k}$-1＜0，
则k＞$\frac{1}{e}$．

点评 本题考查了导数的综合应用及恒成立问题化成最值问题的处理方法，是一道中档题．