Question

随着国家政策对节能环保型小排量车的调整，两款1.1升排量的Q型车、R型车的销量引起市场的关注．已知2010年1月Q型车的销量为a辆，通过分析预测，若以2010年1月为第1月，其后两年内Q型车每月的销量都将以1％的比率增长，而R型车前n个月的销售总量T_n大致满足关系式：T_n＝228a(1.01²ⁿ－1)．(n≤24，n∈N^*)

(1)求Q型车前n个月的销售总量S_n的表达式；

(2)比较两款车前n个月的销售总量S_n与T_n的大小关系；

(3)试问从第几个月开始Q型车的月销售量小于R型车月销售量的20％，并说明理由．(参考数据：≈1.09，≈8.66)

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)Q型车每月的销售量{an}是以首项a1＝a， 　　公比q＝1＋1％＝1.01的等比数列　　(2分) 　　前n个月的销售总量Sn＝＝100a(1.01n－1)，(n∈N*，且n≤24)． 　　(2)∵Sn－Tn＝100a(1.01n－1)－228a(1.012n－1) 　　＝100a(1.01n－1)－228a(1.01n－1)(1.01n＋1) 　　＝－228a(1.01n－1)·(1.01n＋) 　　又1.01n－1＞0，1.01n＋＞0，∴Sn＜Tn．(8分) 　　(3)记Q、R两款车第n个月的销量分别为an和bn，则an＝a×1.01n－1 　　当n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝228a(1.012n－1)－228a(1.012n－2－1) 　　＝228a×(1.012－1)×1.012n－2＝4.5828a1.012n－2．(10分) 　　b1＝4.5828a，显然20％×b1＜a1． 　　当n≥2时，若an＜20％×bn，a×1.01n－1＜×4.5828a×1.012n－2， 　　1.012(n－1)＞×1.01n－1·1.01n－1＞≈1.09，n－1＞≈8.66． 　　∴n≥10，即从第10个月开始，Q型车月销售量小于R型车月销售量的20％．(13分)