Question

已知函数f（x）=x²-1，g（x）=a|x-1|．
（1）若函数h（x）=|f（x）|-g（x）只有一个零点，求实数a的取值范围；
（2）当a≥-3时，求函数h（x）=|f（x）|+g（x）在区间[-2，2]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）函数h（x）=|f（x）|-g（x）只有一个零点，可知x=1是函数的零点，因此转化为因式|x-1|-a=0无实数根，即可求得实数a的取值范围；
（2）当a≥-3时，求出函数h（x）=|f（x）|+g（x）的解析式，根据分段函数最值的求法，分别求出各断上函数的最值，然后求出它们的最大值即可．

解答：解：（1）∵函数h（x）=|f（x）|-g（x）只有一个零点，
即h（x）=|f（x）|-g（x）=|x²-1|-a|x-1|只有一个零点，
显然x=1是函数的零点，
∴即|x-1|-a=0无实数根，
∴a＜0；
（2）h（x）=|f（x）|+g（x）=）=|x²-1|+a|x-1|
=

x2+ax-a-1，1≤x≤2 -x2-ax+a+1，-1＜x＜1 x2-ax+a-1，-2≤x≤-1

，
当1＜x≤2时，∵a≥-3，
∴-

a

2

≤

3

2

，
当x=2时，h（x）的最大值为h（2）=a+3；
当-2≤x＜-1时，

a

2

≥-

3

2

，
当x=-2时，h（x）的最大值为h（-2）=3a+3；
当-1≤x≤1时，h（x）的最大值为max{h（-1），h（1），h（-

a

2

）}=max{0，

1

4

a2+a+1，2a}=

1

4

a2+a+1，
∴函数h（x）最大值为h（a）=

a+3         -3≤a≤0 3a+3        0＜a≤4+2 6 1 4 a2+a+1，a＞4+2 6

．

点评：本题考查函数的零点和二次函数在定区间上的最值问题，其中求出函数的解析式是关键，求出分段函数在各断上的最值，再比较大小是难点，考查运算能力和分类讨论的数学思想，属中档题．