Question

（2006•东城区三模）设函数f(x)=sinxcosx-

3

sin2x+

3

2

．
（1）求函数y=f（x）的最小正周期；
（2）求函数y=f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角的正余弦公式可把f（x）化为f（x）=Asin（ωx+φ）的形式，由周期公式可求；
（2）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可求得函数的增区间；

解答：解：（1）y=f(x)=sinxcosx-

3

sin2x+

3

2

= 1 2 sin2x- 3 2 (1-cos2x)+ 3 2 = 1 2 sin2x+ 3 2 cos2x

=sin(2x+

π

3

)，
∴函数y=f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）由（1）得2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z．解得kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈Z，
所以函数y=sin(2x+

π

3

)的单调增区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z；

点评：本题考查三角函数的周期性、单调性及三角恒等变换，解决本题的关键是利用公式把f（x）化为f（x）=Asin（ωx+φ）的形式．