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    如果数列{an}的前n项和为Sn=an2+bn+c(a、b、c为常数),求证:数列{an}是等差数列的充要条件是c=0.

    证明:(1)充分性:由c=0数列{an}是等差数列.

    由公式an==

    ∴an=2an+b-a.

    又an-an-1=(2an+b-a)-［2a(n-1)+b-a］=2a(常数).

    ∴{an｝是等差数列.

    (2)必要性:由数列{an}是等差数列c=0.

    由公式an==

    ∴a1=a+b+c,a2=4a+b-a=3a+b,a3=6a+b-a=5a+b.

    ∵{an}是等差数列.∴a3-a2=a2-a1.

    ∴2a=2a-c.∴c=0.

    综上,数列{an}是等差数列的充要条件是c=0.

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