Question

已知S_n数列{a_n}的前n项和，且S_n=2a_n-

1

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．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=|log₂a_n|，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由S_n=2a_n-

1

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，推导出a1=

1

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.

an

an-1

=2，故数列{a_n}是首项为

1

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，公比为2的等比数列，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由b_n=|log₂a_n|，a_n=2^n-7，知b_n=|log₂2^n-7|=|n-7|，由此能求出数列{b_n}的前n项和．

解答：解：（1）∵S_n=2a_n-

1

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，
∴S₁=2a₁-

1

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，∴a1=

1

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．
当n≥2时，Sn-1=2an-1-

1

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，
∴a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，
∴

an

an-1

=2，
∴数列{a_n}是首项为

1

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，公比为2的等比数列，
∴an=

1

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•2n-1=2^n-7．
（2）∵b_n=|log₂a_n|，a_n=2^n-7，
∴b_n=|log₂2^n-7|=|n-7|，
∴数列{b_n}的前n项和
T_n=|1-7|+|2-7|+|3-7|+|4-7|+|5-7|+|6-7|+|7-7|+|8-7|+|9-7|+…+|n-7|
=6+5+4+3+2+1+0+1+2+3+…+（n-7）
=

6n+ n(n-1) 2 ×(-1)，n≤6 21+ n-7 2 (1+n-7)，n＞6

=

13n-n2 2 ，n≥6 n2-13n+84 2 ，n＜7

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．