Question

已知f(x)=sin2x+2

3

sinxcosx-cos2x
（1）求f（x）的最大值及取最大值时x的集合．
（2）求f（x）的增区间．

Answer 1

分析：（1）先利用二倍角公式将函数f(x)=sin2x+2

3

sinxcosx-cos2x化为f(x)=2sin(2x-

π

6

)，结合正弦函数的图象和性质，当2x-

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z时函数取最大值，解不等式即可．
（2）将内层函数作为整体，放到正弦曲线的增区间上，即2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，解不等式即可得此复合函数的单调增区间．

解答：解：由已知：f(x)=

3

sin2x-cos2x=2(

3

2

sin2x-

1

2

cos2x)=2sin(2x- 

π

6

)，
（1）当2x-

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z，
即：sin(2x-

π

6

)=1时，f（x）取最大值2．
此时x的集合为：{x|x=kπ+

π

3

，k∈Z }
（2）∵f(x)=2sin(2x-

π

6

)
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z
∴f（x）的增区间为：[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈Z

点评：本题考查了二倍角公式，三角变换方法，正弦曲线的性质，求复合函数单调区间的方法属于三角函数的性质的综合运用．