Question

已知数列{a_n}是首项为a₁=

1

4

，公比q=

1

4

的等比数列．设bn+2=3log

1

4

an（n∈N^*），数列{c_n}满足cn=

1

bn•bn+1

．
（Ⅰ）求证：数列{b_n}成等差数列；
（Ⅱ）求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，可求得a_n=(

1

4

)n，从而可求得b_n=3n-2；利用等差数列的定义判断即可；
（Ⅱ）利用裂项法可求得c_n=

1

3

（

1

3n-2

-

1

3n+1

），从而可求得数列{c_n}的前n项和S_n．

解答：证明：（Ⅰ）∵数列{a_n}是首项为a₁=

1

4

，公比q=

1

4

的等比数列，
∴a_n=

1

4

•(

1

4

)n-1=(

1

4

)n，
∵b_n+2=3log

1

4

a_n=3log

1

4

(

1

4

)n=3n（n∈N^*），
∴b_n=3n-2；
∴b_n+1-b_n=3（n+1）-2-（3n-2）=3，
∴数列{b_n}是以1为首项，3为公差的成等差数列．
（Ⅱ）∵c_n=

1

bn•bn+1

=

1

(3n-2)[3(n+1)-2]

=

1

3

（

1

3n-2

-

1

3n+1

），
∵数列{c_n}的前n项和为S_n，
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n
=

1

3

[（1-

1

4

）+（

1

4

-

1

7

）+…+（

1

3n-2

-

1

3n+1

）]
=

1

3

（1-

1

3n+1

）
=

n

3n+1

．

点评：本题考查等差关系的确定及数列的求和，突出考查对数的运算性质及等比数列的通项公式与等差数列的判定，考查裂项法求和，属于中档题．