Question

已知函数f(x)=sin(2x+

π

3

)
（1）求不等式f(x)≥-

3

2

的解集；
（2）若存在x0∈[0，

5π

12

]，使不等式f（x₀）＜m成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由sin(2x+

π

3

)≥-

3

2

得到：-

π

3

+2kπ≤2x+

π

3

≤

4π

3

+2kπ，k∈Z，求得x的范围，可得不等式的解集．
（2）当x0∈[0，

5π

12

]时利用正弦函数的定义域和值域求得f(x0)∈[-

1

2

，1]，则m＞f（x₀）_min，由此求得实数m的取值范围．

解答：解：（1）由sin(2x+

π

3

)≥-

3

2

得到：-

π

3

+2kπ≤2x+

π

3

≤

4π

3

+2kπ，k∈Z，
解得：-

π

3

+kπ≤x≤

π

2

+kπ，k∈Z，故不等式的解集为{x|-

π

3

+kπ≤x≤

π

2

+kπ，k∈Z}．
（2）当x0∈[0，

5π

12

]时，

π

3

≤2x0+

π

3

≤

7π

6

，则f(x0)∈[-

1

2

，1]．
因为存在x0∈[0，

5π

12

]，使不等式f（x₀）＜m成立，
则m＞f（x₀）_min，即 m＞-

1

2

，所以实数m的取值范围为{m|m＞-

1

2

}．

点评：本题主要考查复合三角函数的单调性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．