Question

如图，椭圆（a＞b＞0）的一个焦点为F(1,0)，且过点（2，0）.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若AB为垂直于x轴的动弦，直线l:x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M.

 (ⅰ)求证：点M恒在椭圆C上；

(ⅱ)求△AMN面积的最大值.

Answer 1

本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、轨迹方程、不等式等基本知识，考查运算能力和综合解题能力,

解法一：

（Ⅰ）由题设a=2,c=1,从而b²=a²-c²=3,

所以椭圆C的方程为.

(Ⅱ)(i)由题意得F(1,0),N(4,0).

设A(m,n),则B(m,-n)(n≠0),=1. ……①

AF与BN的方程分别为：n(x-1)-(m-1)y=0，

n(x-4)-(m-4)y=0.

设M(x₀,y₀),则有  n(x₀-1)-(m-1)y₀=0, ……②

n(x₀-4)+(m-4)y₀=0, ……③

由②，③得

x₀=.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

所以点M恒在椭圆G上.

(ⅱ)设AM的方程为x=ty+1,代入＝1得（3t²+4）y²+6ty-9=0.

设A(x₁,y₁),M（x₂，y₂），则有：y₁+y₂=

|y₁-y₂|=

令3t²+4=λ(λ≥4),则

|y₁-y₂|＝

因为λ≥4，0＜

|y₁-y₂|有最大值3，此时AM过点F.

△AMN的面积S_△AMN=

解法二：

（Ⅰ）问解法一：

（Ⅱ）（ⅰ）由题意得F(1,0),N(4,0).

设A(m,n),则B(m,-n)(n≠0),              ……①

AF与BN的方程分别为：n(x-1)-(m-1)y=0,                  ……②

n(x-4)-(m-4)y=0,                  ……③

由②，③得：当x≠.          ……④

由④代入①，得=1（y≠0）.

当x=时，由②，③得：

解得与a≠0矛盾.

所以点M的轨迹方程为即点M恒在锥圆C上.

（Ⅱ）同解法一.