Question

7．设三角形ABC的内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，且$B=\frac{π}{3}$，若△ABC不是钝角三角形，则$\frac{2a}{c}$的取值范围是（1，4]．

Answer 1

分析 先求得C的范围，由正弦定理及两角和的正弦函数公式化简$\frac{2a}{c}$为1+$\frac{\sqrt{3}cosC}{sinC}$，由角C越大，$\frac{2a}{c}$越小，求得$\frac{2a}{c}$的取值范围．

解答 解：三角形ABC中，∵$B=\frac{π}{3}$，若△ABC不是钝角三角形，由A+C=$\frac{2π}{3}$，
可得$\frac{π}{6}$＜C≤$\frac{π}{2}$．
利用正弦定理可得$\frac{2a}{c}$=$\frac{2sinA}{sinC}$=$\frac{2sin（B+C）}{sinC}$=$\frac{sinC+\sqrt{3}cosC}{sinC}$=1+$\frac{\sqrt{3}cosC}{sinC}$，
显然，角C越大，$\frac{2a}{c}$越小．
当C=$\frac{π}{2}$时，cosC=0，则$\frac{2a}{c}$=1；当$\frac{π}{6}$＜C＜$\frac{π}{2}$时，$\frac{2a}{c}$=1+$\frac{\sqrt{3}}{tanC}$∈（1，4）．
综上可得，$\frac{2a}{c}$∈（1，4]，
故答案为：（1，4]．

点评 本题主要考查了三角形内角和定理，正弦定理及两角和的正弦函数公式的应用，属于基本知识的考查，属于中档题．