Question

已知数列{a_n}满足：a₁＝，且a_n＝(n≥2，n∈N₊)．

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)求证：对一切正整数n，不等式a₁×a₂…a_n＜2×n！恒成立．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)将条件变为：1－， 　　因此，数列{1－}为一个等比数列，其首项为1－＝，公比为，从而1－n， 　　据此得an＝(n≥1)．① 　　(2)证明：据①得， 　　a1×a2…an＝ 　　为证a1a2…an＜2n!， 　　只要证n∈N+时有(1－)(1－)…(1－)＞．② 　　显然，左端每个因式皆为正数，先证明，对每个n∈N+， 　　(1－)(1－)…(1－)≥1－(＋＋…＋)．③ 　　用数学归纳法证明③式； 　　(Ⅰ)n＝1时，显然③式成立， 　　(Ⅱ)假设n＝k时，③式成立． 　　即(1－)(1－)…(1－)≥1－(＋＋…＋)， 　　则当n＝k＋1时， 　　(1－)(1－)…(1－)(1－)≥[1－(＋＋…＋)](1－) 　　＝1－(＋＋…＋)－＋(＋＋…＋)≥1－(＋＋…＋＋)． 　　即当n＝k＋1时，③式也成立． 　　故对一切n∈N+，③式都成立． 　　利用③，得(1－)(1－)…(1－)≥1－(＋＋…＋) 　　＝1－＝1－[1－()n]＝＋()n＞． 　　思路分析：由题设条件知，可用构造新数列的方法求得an；第(2)问的证明，可以等价变形，视为证明新的不等式．

提示：

本题提供了用数学归纳法证明相关问题的一种证明思路，即要证明的不等式不一定非要用数学归纳法去直接证明，我们通过分析法、综合法等方法的分析，可以找到一些证明的关键，“要证明……”，“只需证明……”，转化为证明其他某一个条件，进而说明要证明的不等式是成立的．