Question

已知f（x）=（x²+ax+a）e^-x（a≤2，x∈R）．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）的极大值为4e^-2，求出a的值．

Answer 1

解：（1）当a=1时，f（x）=（x²+x+1）e^-x，f′（x）=e^-x（-x²+x），
当f′（x）＞0时，0＜x＜1．
当f′（x）＜0时，x＞1或x＜0．
∴f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（-∞，0），（1，+∞）．
（2）f′（x）=（2x+a）e^-x-e^-x（x²+ax+a）=e^-x[-x²+（2-a）x]．
令f′（x）=0，得x=0或x=2-a．列表如下：

由表可知，f（x）_极大值=f（2-a）=（4-a）e^a-2．
∵4-a=4且a-2=-2，
所以存在实数a=0使f（x）有极大值4e^-2．
分析：（1）当a=1时，f（x）=（x²+x+1）e^-x，f′（x）=e^-x（-x²+x），由f′（x）＞0可求其递增区间，由f′（x）＜0可求其递减区间；
（2）可求得f′（x）=e^-x[-x²+（2-a）x]，令f′（x）=0，得x=0或x=2-a，列表可求得f（x）_极大值=f（2-a），从而可求得a．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，熟练利用导数研究函数的性质是重点也是难点，要求极值，列表是关键，属于中档题．