Question

如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC的中点．

(Ⅰ)求证：PA∥平面BFD；

(Ⅱ)求二面角C－BF－D的正切值．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)证明：连结，与交于点，连结． 　　是菱形，是的中点． 　　点为的中点，．　　2分 　　平面平面， 　　平面．　　4分 　　(Ⅱ)解法一：平面，平面， 　　． 　　． 　　是菱形， 　　． 　　， 　　平面．　　6分 　　作，垂足为，连接，则， 　　所以为二面角的平面角．　　8分 　　， 　　．． 　　在Rt△中，＝， 　　． 　　二面角的正切值是．　　10分 　　解法二：如图，以点为坐标原点，线段的垂直平分线所在直线为轴，所在直线为y轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，令， 　　则， 　　，． 　　． 　　设平面的一个法向量为n， 　　由nn， 　　得得 　　令，则， 　　n．　　6分 　　平面，平面， 　　． 　　． 　　是菱形， 　　． 　　 　　平面． 　　平面的一个法向量，．　　8分 　　 　　二面角的正切值是．　　10分