Question

10．经过长期的观测得到：在交通繁忙的时段内，蚌埠市解放路某路段汽车的车流量y（千辆/h）与汽车的平均速度v（km/h）之间的函数关系为y=$\frac{670（v-5）}{{v}^{2}-8v+915}$（v＞5）．
（1）在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量最大，最大车流量为多少？（精确到0.1千辆/h）
（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/h，则汽车的平均速度应在什么范围内？

Answer 1

分析 （1）令v₁=v-5，由于y=$\frac{670（v-5）}{{v}^{2}-8v+915}$=$\frac{670}{{v}_{1}+2+\frac{900}{{v}_{1}}}$，根据基本不等式性质求得y的最大值．根据等号成立的条件求得此时的平均速度．
（2）依题意可知$\frac{670（v-5）}{{v}^{2}-8v+915}$＞10，整理求得v的范围．

解答 解：（1）令v₁=v-5，由于y=$\frac{670（v-5）}{{v}^{2}-8v+915}$=$\frac{670}{{v}_{1}+2+\frac{900}{{v}_{1}}}$（v₁＞0），
且v₁+$\frac{900}{{v}_{1}}$≥2$\sqrt{{v}_{1}•\frac{900}{{v}_{1}}}$，当且仅当v₁=$\frac{900}{{v}_{1}}$，即v=35时等号成立，
所以y≤$\frac{670}{2+60}$≈10.8，即当汽车的平均速度为v=35km/h时，车流量最大
且最大车流量为10.8千辆/h．                     …（7分）
（2）由条件知$\frac{670（v-5）}{{v}^{2}-8v+915}$＞10，解得25＜v＜50
所以若要求在该时段内车流量超过10千辆/h，则汽车的平均速度应在（25，50）范围内．…（13分）

点评 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．要特别留意等号取得的条件．