Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）的离心率为

6

3

，直线l：y=-x+2

2

与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点M（0，t）的直线l′（斜率存在时）与椭圆C交于P、Q两点，设D为椭圆C与y轴负半轴的交点，且|DP|=|DQ|，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由直线l：y=-x+2

2

与圆为x²+y²=b²，相切，利用点到直线的距离公式可求b，由e=

c

a

及a²=b²+c²可求a，进而可求椭圆C的方程
（2）当直线的斜率k=0时，容易求t的范围；而k≠0时，设直线线l′的方程为y=kx+t，联立方程，由△＞0，可得t，k的不等式，然后结合方程的根与系数关系可求x₁+x₂，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2t，从而可求PQ中点H，由|DP|=|DQ|可得DH⊥PQ，利用斜率关系可求t，k的方程，联立可求t的范围

解答：解：（1）以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆的方程为x²+y²=b²，
由直线l：y=-x+2

2

与圆相切可知，

2 2

2

=b即b=2
∵e=

c

a

=

6

3

∴a²=3b²
∵a²=b²+c²
∴a=2

3

∴椭圆C的方程

x2

12

+

y2

4

=1
（2）当直线的斜率k=0时，-2＜t＜2
k≠0时，设直线线l′的方程为y=kx+t
联立方程

y=kx+t x2 12 + y2 4 =1

可得（1+3k²）x²+6ktx+3t²-12=0
则△=36k²t²-4（1+3k²）（3t²-12）＞0，
∴t²＜4+12k²①，且x₁+x₂=

-6kt

1+3k2

，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2t
取PQ中点H，则H(-

3kt

1+3k2

，

t

1+3k2

)由|DP|=|DQ|可得DH⊥PQ
∵D（0，-2）
∴

t 1+3k2 +2

- 3kt 1+3k2

•k=-1
∴t=1+3k²＞1②
①②联立可得

t2＜4t t＞1

∴t∈（1，4）
综上，t∈（-2，4）

点评：本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的标准方程，解题的关键是确定几何量之间的关系，利用直线与椭圆联立，结合韦达定理求解